ГДЗ по алгебре 10 класс Алимов Ш. А., Колягин Ю. М., Ткачёва М. В. и др. упражнение - 12 стр. 10

$1) \sqrt{\left(\sqrt{7—2\sqrt{10}}+\sqrt{2}\right)·2\sqrt{5}}.$ $\sqrt{\left(\sqrt{7—2\sqrt{10}}+\sqrt{2}\right)·2\sqrt{5}}=\sqrt{\left(\sqrt{2+5—2\sqrt{10}}+\sqrt{2}\right)·2\sqrt{5}}.$

Воспользуемся формулой сокращенного умножения

${(a—b)}^2=a^2—2ab+b^2,$

но в обратно направлении:

$2+5—2\sqrt{10}={\left(\sqrt{5}\right)}^2—2\sqrt{5}·\sqrt{2}+{\left(\sqrt{2}\right)}^2={\left(\sqrt{5}—\sqrt{2}\right)}^2.$ $\sqrt{\left(\sqrt{{\left(\sqrt{5}—\sqrt{2}\right)}^2}+\sqrt{2}\right)·2\sqrt{5}}=\sqrt{\left(\sqrt{5}—\sqrt{2}+\sqrt{2}\right)·2\sqrt{5}}=\sqrt{\sqrt{5}·2\sqrt{5}}=\sqrt{2·5}=\sqrt{10}.$ $2) \sqrt{\left(\sqrt{16—6\sqrt{7}}+\sqrt{7}\right)·3}.$ $\sqrt{\left(\sqrt{16—6\sqrt{7}}+\sqrt{7}\right)·3}=\sqrt{\left(\sqrt{9+7—6\sqrt{7}}+\sqrt{7}\right)·3}.$

Воспользуемся формулой сокращенного умножения

${(a—b)}^2=a^2—2ab+b^2,$

но в обратно направлении:

$9+7—6\sqrt{7}={\left(3\right)}^2—2·3\sqrt{7}+{\left(\sqrt{7}\right)}^2={\left(3—\sqrt{7}\right)}^2.$ $\sqrt{\left(\sqrt{{\left(3—\sqrt{7}\right)}^2}+\sqrt{7}\right)·3}=\sqrt{\left(3—\sqrt{7}+\sqrt{7}\right)·3}=\sqrt{3·3}=\sqrt{9}=3.$ $3) \sqrt{\left(\sqrt{8+2\sqrt{15}}—\sqrt{8—2\sqrt{15}}\right)·2+7}.$ $\sqrt{\left(\sqrt{8+2\sqrt{15}}—\sqrt{8—2\sqrt{15}}\right)·2+7}=\sqrt{\left(\sqrt{5+3+2\sqrt{15}}—\sqrt{5+3—2\sqrt{15}}\right)·2+7}.$

Воспользуемся формулами сокращенного умножения

${(a—b)}^2=a^2—2ab+b^2,$ ${(a+b)}^2=a^2+2ab+b^2,$

но в обратно направлении:

$5+3+2\sqrt{15}={\left(\sqrt{5}\right)}^2+2\sqrt{5}·\sqrt{3}+{\left(\sqrt{3}\right)}^2={\left(\sqrt{5}+\sqrt{3}\right)}^2.$ $5+3—2\sqrt{15}={\left(\sqrt{5}\right)}^2—2\sqrt{5}·\sqrt{3}+{\left(\sqrt{3}\right)}^2={\left(\sqrt{5}—\sqrt{3}\right)}^2.$ $\sqrt{\left(\sqrt{{\left(\sqrt{5}+\sqrt{3}\right)}^2}—\sqrt{{\left(\sqrt{5}—\sqrt{3}\right)}^2}\right)·2+7}=\sqrt{\left(\left(\sqrt{5}+\sqrt{3}\right)—\left(\sqrt{5}—\sqrt{3}\right)\right)·2+7}=\sqrt{\left(\sqrt{5}+\sqrt{3}—\sqrt{5}+\sqrt{3}\right)·2+7}=\sqrt{2·2\sqrt{3}+7}=\sqrt{4\sqrt{3}+7}=\sqrt{4\sqrt{3}+3+4}.$

Воспользуемся формулой сокращенного умножения

${(a+b)}^2=a^2+2ab+b^2,$

но в обратно направлении:

$4+3+4\sqrt{3}=2^2+2·2\sqrt{3}+{\left(\sqrt{3}\right)}^2={\left(2+\sqrt{3}\right)}^2.$ $\sqrt{{\left(2+\sqrt{3}\right)}^2}=2+\sqrt{3}.$