ГДЗ по алгебре 10 класс Алимов Ш. А., Колягин Ю. М., Ткачёва М. В. и др. упражнение - 46 стр. 22

$1) \sqrt{9+\sqrt{17}}·\sqrt{9—\sqrt{17}}.$

Воспользуемся свойством корней

$\sqrt{a}·\sqrt{b}=\sqrt{ab}$

и формулой сокращенного умножения

$(a—b)(a+b)=a^2—b^2.$ $\sqrt{9+\sqrt{17}}·\sqrt{9—\sqrt{17}}=\sqrt{\left(9+\sqrt{17}\right)\left(9—\sqrt{17}\right)}=\sqrt{9^2—{\left(\sqrt{17}\right)}^2}=\sqrt{81—17}=\sqrt{64}=8.$ $2) {\left(\sqrt{3+\sqrt{5}}—\sqrt{3—\sqrt{5}}\right)}^2.$

Воспользуемся формулой сокращенного умножения

${(a—b)}^2=a^2—2ab+b^2$

и свойством корней

$\sqrt{a}·\sqrt{b}=\sqrt{ab}.$ ${\left(\sqrt{3+\sqrt{5}}—\sqrt{3—\sqrt{5}}\right)}^2={\left(\sqrt{3+\sqrt{5}}\right)}^2—2\left(\sqrt{3+\sqrt{5}}\right)\left(\sqrt{3—\sqrt{5}}\right)+{\left(\sqrt{3—\sqrt{5}}\right)}^2=3+\sqrt{5}—2\sqrt{\left(3+\sqrt{5}\right)\left(3—\sqrt{5}\right)}+3—\sqrt{5}=6—2\sqrt{\left(3+\sqrt{5}\right)\left(3—\sqrt{5}\right)}$

Воспользуемся формулой сокращенного умножения

$(a—b)(a+b)=a^2—b^2.$ $6—2\sqrt{\left(3+\sqrt{5}\right)\left(3—\sqrt{5}\right)}=6—2\sqrt{3^2—{\left(\sqrt{5}\right)}^2}=6—2\sqrt{9—5}=6—2\sqrt{4}=6—2·2=6—4=2.$ $3) {\left(\sqrt{5+\sqrt{21}}+\sqrt{5—\sqrt{21}}\right)}^2.$

Воспользуемся формулой сокращенного умножения

${(a+b)}^2=a^2+2ab+b^2$

и свойством корней

$\sqrt{a}·\sqrt{b}=\sqrt{ab}.$ ${\left(\sqrt{5+\sqrt{21}}+\sqrt{5—\sqrt{21}}\right)}^2={\left(\sqrt{5+\sqrt{21}}\right)}^2+2\left(\sqrt{5+\sqrt{21}}\right)\left(\sqrt{5—\sqrt{21}}\right)+{\left(\sqrt{5—\sqrt{21}}\right)}^2=5+\sqrt{21}+2\sqrt{\left(5+\sqrt{21}\right)\left(5—\sqrt{21}\right)}+5—\sqrt{21}=10+2\sqrt{\left(5+\sqrt{21}\right)\left(5—\sqrt{21}\right)}$

Воспользуемся формулой сокращенного умножения

$(a—b)(a+b)=a^2—b^2.$ $10+2\sqrt{\left(5+\sqrt{21}\right)\left(5—\sqrt{21}\right)}=10+2\sqrt{5^2—{\left(\sqrt{21}\right)}^2}=10+2\sqrt{25—21}=10+2\sqrt{4}=10+2·2=10+4=14.$