ГДЗ по алгебре 10 класс Алимов Ш. А., Колягин Ю. М., Ткачёва М. В. и др. упражнение - 50 стр. 23

$1)\frac{\sqrt{3}·\sqrt[3]{9}}{\sqrt[6]{3}}.$

Воспользуемся свойствами корней

$a=\sqrt[n]{a^n}, \sqrt[n]{\sqrt[m]{a}}=\sqrt[n·m]{a}$

и свойствами степеней

${\left(a^n\right)}^m=a^{n·m}, a^n·a^m=a^{n+m}.$ $\frac{\sqrt{3}·\sqrt[3]{9}}{\sqrt[6]{3}}=\frac{\sqrt{\sqrt[3]{3^3}}·\sqrt[3]{\sqrt{9^2}}}{\sqrt[6]{3}}=\frac{\sqrt[2·3]{3^3}·\sqrt[2·3]{{\left(3^2\right)}^2}}{\sqrt[6]{3}}=\frac{\sqrt[6]{3^3}·\sqrt[6]{3^{2·2}}}{\sqrt[6]{3}}=\frac{\sqrt[6]{3^3}·\sqrt[6]{3^4}}{\sqrt[6]{3}}.$

Воспользуемся свойствами корней

$\sqrt[n]{a}·\sqrt[n]{b}=\sqrt[n]{ab},\frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}}=\sqrt[n]{\frac{a}{b}}.$ $\frac{\sqrt[6]{3^3}·\sqrt[6]{3^4}}{\sqrt[6]{3}}=\frac{\sqrt[6]{3^3·3^4}}{\sqrt[6]{3}}=\frac{\sqrt[6]{3^{3+4}}}{\sqrt[6]{3}}=\sqrt[6]{\frac{3^7}{3}}=\sqrt[6]{3^6}=3.$ $2) \frac{\sqrt[3]{7}·\sqrt[4]{343}}{\sqrt[12]{7}}.$

Воспользуемся свойствами корней

$a=\sqrt[n]{a^n}, \sqrt[n]{\sqrt[m]{a}}=\sqrt[n·m]{a}$

и свойствами степеней

${\left(a^n\right)}^m=a^{n·m}, a^n·a^m=a^{n+m}.$ $\frac{\sqrt[3]{7}·\sqrt[4]{343}}{\sqrt[12]{7}}=\frac{\sqrt[3]{\sqrt[4]{7^4}}·\sqrt[4]{\sqrt[3]{{343}^3}}}{\sqrt[12]{7}}=\frac{\sqrt[3·4]{7^4}·\sqrt[4·3]{{\left(7^3\right)}^3}}{\sqrt[12]{7}}=\frac{\sqrt[12]{7^4}·\sqrt[12]{7^{3·3}}}{\sqrt[12]{7}}=\frac{\sqrt[12]{7^4}·\sqrt[12]{7^9}}{\sqrt[12]{7}}.$

Воспользуемся свойствами корней

$\sqrt[n]{a}·\sqrt[n]{b}=\sqrt[n]{ab},\frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}}=\sqrt[n]{\frac{a}{b}}.$ $\frac{\sqrt[12]{7^4}·\sqrt[12]{7^9}}{\sqrt[12]{7}}=\frac{\sqrt[12]{7^4·7^9}}{\sqrt[12]{7}}=\frac{\sqrt[12]{7^{4+9}}}{\sqrt[12]{7}}=\frac{\sqrt[12]{7^{13}}}{\sqrt[12]{7}}=\sqrt[12]{\frac{7^{13}}{7}}=\sqrt[12]{7^{12}}=7.$ $3) \left(\sqrt[3]{9}+\sqrt[3]{6}+\sqrt[3]{4}\right)\left(\sqrt[3]{3}—\sqrt[3]{2}\right).$

Раскроем скобки:

$\left(\sqrt[3]{9}+\sqrt[3]{6}+\sqrt[3]{4}\right)\left(\sqrt[3]{3}—\sqrt[3]{2}\right)=\sqrt[3]{9}·\sqrt[3]{3}+\sqrt[3]{6}·\sqrt[3]{3}+\sqrt[3]{4}·\sqrt[3]{3}—\sqrt[3]{9}·\sqrt[3]{2}—\sqrt[3]{6}·\sqrt[3]{2}—\sqrt[3]{4}\sqrt[3]{2}$

Воспользуемся свойствами корней

$\sqrt[n]{a}·\sqrt[n]{b}=\sqrt[n]{ab},\frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}}=\sqrt[n]{\frac{a}{b}}.$ $\sqrt[3]{9·3}+\sqrt[3]{6·3}+\sqrt[3]{4·3}—\sqrt[3]{9·2}—\sqrt[3]{6·2}—\sqrt[3]{4·2}=\sqrt[3]{27}+\sqrt[3]{18}+\sqrt[3]{12}—\sqrt[3]{18}—\sqrt[3]{12}—\sqrt[3]{8}=\sqrt[3]{27}—\sqrt[3]{8}=3—2=1.$