ГДЗ по алгебре 10 класс Алимов Ш. А., Колягин Ю. М., Ткачёва М. В. и др. упражнение - 97 стр. 36

$1) \sqrt[3]{\frac{3}{2}}·\sqrt[3]{2\frac{1}{4}}.$

Воспользуемся свойством степеней

${\left(a^n\right)}^m=a^{n·m}$

и свойствами корня

$\sqrt[n]{a^m}=a^{\frac{m}{n}}, \sqrt[n]{a}·\sqrt[n]{b}=\sqrt[n]{a·b}.$ $\sqrt[3]{\frac{3}{2}}·\sqrt[3]{2\frac{1}{4}}=\sqrt[3]{\frac{3}{2}}·\sqrt[3]{\frac{2·4+1}{4}}=\sqrt[3]{\frac{3}{2}}·\sqrt[3]{\frac{9}{4}}=\sqrt[3]{\frac{3}{2}·\frac{9}{4}}=\sqrt[3]{\frac{27}{8}}=\sqrt[3]{{\left(\frac{3}{2}\right)}^3}={\left({\left(\frac{3}{2}\right)}^3\right)}^{\frac{1}{3}}={\left(\frac{3}{2}\right)}^{3·\frac{1}{3}}={\left(\frac{3}{2}\right)}^1=\frac{3}{2}=1,5.$ $2) \sqrt[4]{\frac{3}{4}}·\sqrt[4]{6\frac{3}{4}}.$

Воспользуемся свойством степеней

${\left(a^n\right)}^m=a^{n·m}$

и свойствами корня

$\sqrt[n]{a^m}=a^{\frac{m}{n}}, \sqrt[n]{a}·\sqrt[n]{b}=\sqrt[n]{a·b}.$ $\sqrt[4]{\frac{3}{4}}·\sqrt[4]{6\frac{3}{4}}=\sqrt[4]{\frac{3}{4}}·\sqrt[4]{\frac{6·4+3}{4}}=\sqrt[4]{\frac{3}{4}}·\sqrt[4]{\frac{27}{4}}=\sqrt[4]{\frac{3}{4}·\frac{27}{4}}=\sqrt[4]{\frac{81}{16}}=\sqrt[4]{{\left(\frac{3}{2}\right)}^4}={\left({\left(\frac{3}{2}\right)}^4\right)}^{\frac{1}{4}}={\left(\frac{3}{2}\right)}^{4·\frac{1}{4}}={\left(\frac{3}{2}\right)}^1=\frac{3}{2}=1,5.$ $3) \sqrt[4]{15\frac{5}{8}}:\sqrt[4]{\frac{2}{5}}.$

Воспользуемся свойством степеней

${\left(a^n\right)}^m=a^{n·m}$

и свойствами корня

$\sqrt[n]{a^m}=a^{\frac{m}{n}}, \sqrt[n]{a}:\sqrt[n]{b}=\sqrt[n]{a:b}.$ $\sqrt[4]{15\frac{5}{8}}:\sqrt[4]{\frac{2}{5}}=\sqrt[4]{\frac{15·8+5}{8}}:\sqrt[4]{\frac{2}{5}}=\sqrt[4]{\frac{125}{8}}:\sqrt[4]{\frac{2}{5}}=\sqrt[4]{\frac{125}{8}:{\displaystyle \frac{2}{5}}}=\sqrt[4]{\frac{125}{8}·{\displaystyle \frac{5}{2}}}=\sqrt[4]{\frac{625}{16}}=\sqrt[4]{{\left(\frac{5}{2}\right)}^4}={\left({\left(\frac{5}{2}\right)}^4\right)}^{\frac{1}{4}}={\left(\frac{5}{2}\right)}^{4·\frac{1}{4}}={\left(\frac{5}{2}\right)}^1=\frac{5}{2}=2,5.$ $4)\sqrt[3]{11\frac{1}{4}}:\sqrt[3]{3\frac{1}{3}}.$

Воспользуемся свойством степеней

${\left(a^n\right)}^m=a^{n·m}$

и свойствами корня

$\sqrt[n]{a^m}=a^{\frac{m}{n}}, \sqrt[n]{a}:\sqrt[n]{b}=\sqrt[n]{a:b}.$ $\sqrt[3]{11\frac{1}{4}}:\sqrt[3]{3\frac{1}{3}}=\sqrt[3]{\frac{11·4+1}{4}}:\sqrt[3]{\frac{3·3+1}{3}}=\sqrt[3]{\frac{45}{4}}:\sqrt[3]{\frac{10}{3}}=\sqrt[3]{\frac{45}{4}:\frac{10}{3}}=\sqrt[3]{\frac{45}{4}·\frac{3}{10}}=\sqrt[3]{\frac{9}{4}·\frac{3}{2}}=\sqrt[3]{\frac{27}{8}}=\sqrt[3]{{\left(\frac{3}{2}\right)}^3}={\left({\left(\frac{3}{2}\right)}^3\right)}^{\frac{1}{3}}={\left(\frac{3}{2}\right)}^{3·\frac{1}{3}}=\frac{3}{2}=1,5.$ $5) {\left(\sqrt[3]{\sqrt{27}}\right)}^2.$

Воспользуемся свойством степеней

${\left(a^n\right)}^m=a^{n·m}$

и свойством корня

$\sqrt[n]{a^m}=a^{\frac{m}{n}}.$ ${\left(\sqrt[3]{\sqrt{27}}\right)}^2={\left(\sqrt[3]{\sqrt{3^3}}\right)}^2={\left(\sqrt[3]{3^{\frac{3}{2}}}\right)}^2={\left({\left(3^{\frac{3}{2}}\right)}^{\frac{1}{3}}\right)}^2=3^{\frac{3}{2}·\frac{1}{3}·2}=3^1=3.$ $6) {\left(\sqrt{\sqrt[3]{16}}\right)}^3.$

Воспользуемся свойством степеней

${\left(a^n\right)}^m=a^{n·m}$

и свойством корня

$\sqrt[n]{a^m}=a^{\frac{m}{n}}.$ ${\left(\sqrt{\sqrt[3]{16}}\right)}^3={\left(\sqrt{\sqrt[3]{2^4}}\right)}^3={\left(\sqrt{\sqrt[3]{2^4}}\right)}^3={\left(\sqrt{2^{\frac{4}{3}}}\right)}^3={\left({\left(2^{\frac{4}{3}}\right)}^{\frac{1}{2}}\right)}^3=2^{\frac{4}{3}·\frac{1}{2}·3}=2^2=4.$