решебник.рф ГДЗ по геометрии 7 класс В. Ф. Бутузов, И. И. Юдина, Л. С. Атанасян, С. Б. Кадомцев, Э. Г. Позняк упражнение - 11 стр. 184
Условие
Какой угол называется вписанным? Сформулируйте и докажите теорему о вписанном угле.
Решение #1
Угол, вершина которого лежит на окружности, а стороны пересекают окружность, называется вписанным углом.
Теорема:
Вписанный угол измеряется половиной дуги, на которую он опирается.
Доказательство:
Пусть ∠ABC — вписанный угол окружности с центром О, опирающийся на дугу АС (рис. 218). Докажем, что ∠ABC = 1/2 U АС. Рассмотрим три возможных случая расположения луча ВО относительно угла ABC.
1) Луч ВО совпадает с одной из сторон угла ABC, например со стороной ВС (рис. 218, а). В этом случае дуга АС меньше полуокружности, поэтому ∠AOC = ИАС. Так как угол АОС — внешний угол равнобедренного треугольника ABО, а углы 1 и 2 при основании равнобедренного треугольника равны, то
∠AOC = ∠1 + ∠2 = 2∠1.
Отсюда следует, что
2∠1 = U AC, или ∠ABC = ∠1 = 1/2 U AC.
2) Луч ВО делит угол ABC на два угла.
В этом случае луч ВО пересекает дугу АС в некоторой точке D (рис. 218, б). Точка D разделяет дугу АС на две дуги: U AD и U DC. По доказанному в п. 1) ∠ABD = 1/2 U AD и ∠DBC = 1/2 U DC. Складывая эти равенства, получаем
∠ABD + ∠DBC = 1/2 U AD + 1/2 U DC,
или ∠ABC = 1/2 U AC.
3) Луч ВО не делит угол ABC на два угла и не совпадает со стороной этого угла. В данном случае луч ВС пересекает дугу АD в точке С.
Точка С разделят дугу АD на две дуги: U АC и U CD, поэтому U АD = U АC + U CD, откуда U АC = U АD — U CD.
Луч ВС разделяет угол АВD на два угла, поэтому ∠АВD = ∠АВC + ∠CВD, откуда ∠АВC = ∠АВD — ∠CВD.
По доказанному в 1 случае ∠АВD = 1/2 U АD и ∠СВD = 1/2 U СD. Вычитая из первого равенства второе, получаем: ∠АВD — ∠СВD = 1/2 U АD — 1/2 U CD или ∠АВD — ∠СВD = 1/2(U АD — U CD). Следовательно, ∠АВС = 1/2 U АС.
Сообщить об ошибке
Сообщитe об ошибке