ГДЗ по геометрии 7 класс В. Ф. Бутузов, И. И. Юдина, Л. С. Атанасян, С. Б. Кадомцев, Э. Г. Позняк упражнение - 113 стр. 37

а) По условию:

• Точки M и P по одну сторону от прямой b.
• MN ⊥ b, PQ ⊥ b.
• MN = PQ.
• O — середина NQ, следовательно, NO = OQ.

Рассмотрим треугольники MNO и PQO:

• MN = PQ (по условию).
• NO = OQ (по условию).
• ∠MNO = ∠PQO = 90° (т.к. MN и PQ перпендикулярны b).

Следовательно, ΔMNO = ΔPQO (по двум сторонам и углу между ними).

Из равенства треугольников следует, что MO = PO (как соответствующие стороны равных треугольников).

Рассмотрим треугольник MOP: MO = PO (доказано выше).

Следовательно, ΔMOP — равнобедренный с основанием MP.

В равнобедренном треугольнике углы при основании равны. Значит, ∠OMP = ∠OPM.

б)

1. Из равенства треугольников MNO и PQO следует:

∠MON = ∠POQ (как соответствующие углы равных треугольников).

Пусть ∠MON = ∠POQ = x.

2. В треугольнике MOP, MO = PO, следовательно,

∠OMP = ∠OPM = (180° — ∠MOP)/2 = (180° — 105°)/2 = 75°/2 = 37,5°

3. Рассмотрим треугольник MON:

∠MNO = 90°.

∠MON = x.

∠OMN = ∠OMP = 37,5°.

4. Знаем, что ∠MNO = ∠MON + ∠OMN = 90°.

Следовательно, ∠NOM = x = 90° — ∠OMN = 90° — 37,5° = 52,5°.

Тогда в четырехугольнике MNOP получается что MN=PQ, ∠MNQ = ∠PQN = 90° и ∠MON = ∠POQ. Следовательно ΔMON = ΔPOQ по двум сторонам и углу между ними, а значит MO=PO.

5. Рассмотрим треугольник MNO:

∠MNO = 90°.

∠NOM — искомый.

∠NMO + ∠NOM = 90°.

∠OMP = ∠OPM.

6. Рассмотрим треугольник MOP:

MO = PO.

∠MOP = 105°.

∠OMP = ∠OPM = (180° — 105°) / 2 = 75° / 2 = 37,5°.

7. Получаем, что ∠NMO = ∠NMO

∠NMO = 90° — ∠NOM.

∠PMO = 37,5°.

Пусть ∠NOM = х, тогда ∠NMO = 90° — х.

Также известно, что ∠PMO = 37,5°

∠NMP = ∠NMO + ∠OMP => ∠NMO + ∠OMP — 9°

∠NOM = 37,5°, то есть ∠NOM = 37°30′