ГДЗ по геометрии 7 класс В. Ф. Бутузов, И. И. Юдина, Л. С. Атанасян, С. Б. Кадомцев, Э. Г. Позняк упражнение - 115 стр. 37

1. Пусть M — середина BC, тогда BM = MC. Дано AM = BM. Следовательно, AM = BM = MC.

2. Рассмотрим треугольник ABM:

Так как AM = BM, то треугольник ABM — равнобедренный с основанием AB.

Следовательно, ∠BAM = ∠MBA (углы при основании равнобедренного треугольника равны). Обозначим эти углы как α.

∠BAM = ∠MBA = α

3. Рассмотрим треугольник AMC:

Так как AM = MC, то треугольник AMC — равнобедренный с основанием AC.

Следовательно, ∠MAC = ∠MCA (углы при основании равнобедренного треугольника равны). Обозначим эти углы как γ.

∠MAC = ∠MCA = γ

4. Углы треугольника ABC:

∠BAC = ∠BAM + ∠MAC = α + γ

∠ABC = ∠MBA = α

∠BCA = ∠MCA = γ

5. Сумма углов треугольника ABC:

∠BAC + ∠ABC + ∠BCA = 180°

(α + γ) + α + γ = 180°

2α + 2γ = 180°

α + γ = 90°

6. Выразим угол BAC через α и γ:

∠BAC = α + γ = 90°

7. Нам нужно доказать, что либо ∠BAC = ∠ABC + ∠BCA, либо ∠ABC = ∠BAC + ∠BCA, либо ∠BCA = ∠BAC + ∠ABC.

Подставим известные значения:

∠ABC + ∠BCA = α + γ = 90°

∠BAC = 90°

Таким образом, мы получили:

∠BAC = ∠ABC + ∠BCA

Мы доказали, что ∠BAC = ∠ABC + ∠BCA, то есть один из углов треугольника ABC равен сумме двух других углов.