ГДЗ по геометрии 7 класс В. Ф. Бутузов, И. И. Юдина, Л. С. Атанасян, С. Б. Кадомцев, Э. Г. Позняк упражнение - 144 стр. 47

а)

Рассмотрим треугольники ΔBOD и ΔAOC:

• BO = AO (как радиусы окружности)
• DO = CO (как радиусы окружности)
• ∠BOD = ∠AOC (как вертикальные углы)

Следовательно, ΔBOD = ΔAOC по двум сторонам и углу между ними (первый признак равенства треугольников).

Из равенства треугольников следует, что BD = AC (как соответствующие стороны).

б) Рассмотрим треугольники ΔAOD и ΔBOC:

• AO = BO (как радиусы окружности)
• DO = CO (как радиусы окружности)
• ∠AOD = ∠BOC (как вертикальные углы)

Следовательно, ΔAOD = ΔBOC по двум сторонам и углу между ними (первый признак равенства треугольников).

Из равенства треугольников следует, что AD = BC (как соответствующие стороны).

в) Докажем, что ∠BAD = ∠BCD.

Здесь мы можем пойти разными путями.

Способ 1 (используя равенство треугольников, доказанное в пункте б):

Так как ΔAOD = ΔBOC (доказано в пункте б), то ∠DAO = ∠CBO (как соответствующие углы).

Рассмотрим треугольники ΔABD и ΔCDB.

• AB = CD (как диаметры окружности)
• AD = BC (доказано в пункте б)
• BD — общая сторона

Следовательно, ΔABD = ΔCDB по трем сторонам (третий признак равенства треугольников).

Из равенства треугольников следует, что ∠BAD = ∠BCD (как соответствующие углы).

Способ 2 (используя вписанные углы и свойство диаметра):

Углы ∠BAD и ∠BCD опираются на дуги BD и DA соответственно. Угол, опирающийся на диаметр, равен 90 градусам, значит ∠ADB = ∠CBD = 90 градусов.

∠BAD = ∠BOA / 2 (вписанный угол равен половине центрального угла, опирающегося на ту же дугу).

∠BCD = ∠COD / 2 (вписанный угол равен половине центрального угла, опирающегося на ту же дугу).

Поскольку ∠BOA = ∠COD (как вертикальные углы), то ∠BOA / 2 = ∠COD / 2.

Следовательно, ∠BAD = ∠BCD.