ГДЗ по геометрии 7 класс В. Ф. Бутузов, И. И. Юдина, Л. С. Атанасян, С. Б. Кадомцев, Э. Г. Позняк упражнение - 160 стр. 49

Пусть $A$ и $B$ — две точки на плоскости, и пусть $M$ — середина отрезка AB. Прямая a проходит через точку M и перпендикулярна к отрезку AB.

Доказательство:

а)

Пусть P — произвольная точка на прямой a.

Мы будем рассматривать треугольники AMP и BMP:

• Отрезок AM=MB (поскольку M — середина отрезка AB).
• MP — общая сторона.
• Угол AMP=BMP=90∘, так как прямая a перпендикулярна к отрезку AB.

Исходя из равенства двух сторон и угла между ними, мы можем заключить, что треугольники равны:

△AMP=△BMP.

Из равенства треугольников следует, что AP=BP. То есть каждая точка прямой a равноудалена от точек A и B.

б)

Пусть точка Q равноудалена от точек A и B: AQ=BQ.

Теперь мы рассмотрим треугольники AMQ и BMQ:

• AQ=BQ
• MQ — общая сторона.
• Угол AMQ=90∘, так как прямая a перпендикулярна к отрезку AB. Угол BMQ=90∘, аналогично.

По двум сторонам и углу между ними:

△AMQ=△BMQ.

Из равенства треугольников следует, что MA=MB. Таким образом, если точка Q равноудалена от точек A и B, то она лежит на прямой a.