ГДЗ по геометрии 7 класс В. Ф. Бутузов, И. И. Юдина, Л. С. Атанасян, С. Б. Кадомцев, Э. Г. Позняк упражнение - 161 стр. 49

1. По определению, медиана соединяет вершину треугольника с серединой противоположной стороны.
Значит, M — середина стороны BC, а M₁ — середина стороны B₁C₁.

Следовательно,

BM = MC = BC / 2.

и

B₁M₁ = M₁C₁ = B₁C₁ / 2.

Нам дано, что BC = B₁C₁. Так как BM = BC / 2 и B₁M₁ = B₁C₁ / 2, то из равенства BC = B₁C₁ следует, что BM = B₁M₁.

Рассмотрим треугольники ΔAMB и ΔA₁M₁B₁:

• AM = A₁M₁ (дано по условию).
• ∠AMB = ∠A₁M₁B₁ (дано по условию).
• BM = B₁M₁ (доказано выше).

Поскольку в треугольниках ΔAMB и ΔA₁M₁B₁ две стороны (AM и BM) и угол между ними (∠AMB) соответственно равны двум сторонам (A₁M₁ и B₁M₁) и углу между ними (∠A₁M₁B₁), то эти треугольники равны по первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними). Следовательно, ΔAMB = ΔA₁M₁B₁.

Из равенства этих треугольников вытекает равенство их соответствующих элементов:

• AB = A₁B₁ (соответствующие стороны).
• ∠ABM = ∠A₁B₁M₁ (соответствующие углы). Обратите внимание, что ∠ABM — это то же самое, что и ∠ABC, а ∠A₁B₁M₁ — то же самое, что и ∠A₁B₁C₁. Значит, ∠ABC = ∠A₁B₁C₁.

Рассмотрим исходные треугольники ΔABC и ΔA₁B₁C₁:

• AB = A₁B₁ (доказано выше).
• ∠ABC = ∠A₁B₁C₁ (доказано выше).
• BC = B₁C₁ (дано по условию).

Поскольку в треугольниках ΔABC и ΔA₁B₁C₁ две стороны (AB и BC) и угол между ними (∠ABC) соответственно равны двум сторонам (A₁B₁ и B₁C₁) и углу между ними (∠A₁B₁C₁), то эти треугольники равны по первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними). Следовательно, ΔABC = ΔA₁B₁C₁.

Что и требовалось доказать.