ГДЗ по геометрии 7 класс В. Ф. Бутузов, И. И. Юдина, Л. С. Атанасян, С. Б. Кадомцев, Э. Г. Позняк упражнение - 305 стр. 90

305 стр. 90

Условие

Докажите, что сумма расстояний от любой точки, лежащей внутри треугольника, до его вершин меньше периметра треугольника.

Решение #1

1. Пусть $A M$ , $BM$ и $CM$ — расстояния от точки $M$ до вершин треугольника $A$ , $B$ и $C$ соответственно.

2. Рассмотрим треугольник $A MC$ :

$A M + MC < A C + A B .$

Рассмотрим треугольник $BMC$ :

$BM + MC < BC + A B .$

Рассмотрим треугольник $A BM$ :

$A M + BM < A B + A C .$

3. Сложив все три неравенства, получаем:

$(A M + MC) + (BM + MC) + (A M + BM) < (A C + A B) + (BC + A B) + (A B + A C) .$

4. Объединим все слагаемые:

$2 A M + 2 BM + 2 MC < 2 (A B + BC + A C) .$

Разделив обе стороны на 2, получаем:

$A M + BM + MC < A B + BC + A C .$

5. Периметр треугольника $A BC$ обозначается как:

$P_{A BC} = A B + BC + A C .$

Сообщить об ошибке