ГДЗ по геометрии 7 класс В. Ф. Бутузов, И. И. Юдина, Л. С. Атанасян, С. Б. Кадомцев, Э. Г. Позняк упражнение - 336 стр. 93

a) Угол треугольника острый, если медиана больше половины противоположной стороны

1. Пусть ABC — треугольник, M — середина стороны BC, а AM — медиана.

2. Поскольку AC>AB (так как медиана больше половины стороны), то по свойству треугольников: ∠C>∠MAC,

Аналогично, если AB>AC: ∠B>∠MAB.

3. Следовательно:

∠C+∠B>∠MAC+∠MAB.

4. Поскольку сумма углов в треугольнике равна 180∘:

∠C+∠B>∠A.

Это означает, что если A<90∘, то угол A является острым.

б) Угол треугольника прямой, если медиана равна половине противоположной стороны

1. Пусть AM=MB=MC, где M — середина стороны BC.

2. Тогда треугольники ABM и AMC являются равнобедренными. Следовательно ∠C=∠MAB и ∠B=∠MAC.

3. Таким образом

∠C+∠B=2∠A.

4. Поскольку сумма углов в треугольнике равна 180∘:

2∠A=180∘,

следовательно:

∠A=90∘.

в) Угол треугольника тупой, если медиана меньше половины противоположной стороны

1. Если медиана меньше половины стороны, то по свойству треугольников угол против большей стороны меньше угла против меньшей.

2. Следовательно, мы имеем неравенство для сумм углов:

∠C + ∠B < ∠ MAC + ∠ MAB.

3. Поскольку сумма углов в треугольнике равна 180∘:

∠ C + ∠ B < ∠ A,

что означает, что угол A>90∘.