ГДЗ по геометрии 7 класс В. Ф. Бутузов, И. И. Юдина, Л. С. Атанасян, С. Б. Кадомцев, Э. Г. Позняк упражнение - 341 стр. 93

Докажем, что ∠ADB > ∠ADC.

1. В треугольнике ABC, так как AB > AC (дано), то угол, лежащий напротив большей стороны, больше угла, лежащего напротив меньшей стороны.

Следовательно, ∠ACB > ∠ABC

2. AD является биссектрисой угла A. Это означает, что ∠BAD = ∠CAD. Обозначим эти углы как α (∠BAD = ∠CAD = α).

3. Рассмотрим сумму углов в треугольниках ADC и ADB:

В ΔADC: ∠ADC = 180° — ∠CAD — ∠ACB = 180° — α — ∠ACB.

В ΔADB: ∠ADB = 180° — ∠BAD — ∠ABC = 180° — α — ∠ABC

4. Теперь сравним величины ∠ADC и ∠ADB:

Мы знаем, что ∠ACB > ∠ABC.

Умножим на -1: -∠ACB < -∠ABC.

Прибавим к обеим частям 180° — α:

180° — α — ∠ACB < 180° — α — ∠ABC.

Следовательно, ∠ADC < ∠ADB (или ∠ADB > ∠ADC).

Докажем, что BD > CD (используя предложенную конструкцию).

1. На стороне AB отложим отрезок AC1, равный AC. Точка C1 будет лежать на отрезке AB (так как AB > AC). Соединим точки C1 и D.

2. Рассмотрим треугольники ΔAC1D и ΔADC:

AD — общая сторона.

∠C1AD = ∠CAD (поскольку AD — биссектриса угла A).

AC1 = AC (по построению).

Следовательно, ΔAC1D = ΔADC (по двум сторонам и углу между ними).

Из равенства треугольников следует, что соответствующие стороны равны: C1D = CD.

Также равны соответствующие углы: ∠AC1D = ∠ACB.

3. Рассмотрим треугольник ΔBDC1:

Нам нужно сравнить стороны BD и C1D. Для этого нам необходимо сравнить углы, лежащие напротив этих сторон в треугольнике ΔBDC1.

Сторона BD лежит напротив угла ∠BC1D.

Сторона C1D лежит напротив угла ∠DBC1 (это угол ∠ABC исходного треугольника).

4. Найдем величину угла ∠BC1D:

Углы ∠AC1D и ∠BC1D являются смежными (лежат на одной прямой AB). Их сумма равна 180°.

∠BC1D = 180° — ∠AC1D.

Из пункта 2 мы знаем, что ∠AC1D = ∠ACB.

Следовательно, ∠BC1D = 180° — ∠ACB.

В треугольнике ABC сумма углов: ∠BAC + ∠ABC + ∠ACB = 180°.

Отсюда, 180° — ∠ACB = ∠BAC + ∠ABC.

Таким образом, ∠BC1D = ∠BAC + ∠ABC.

5. Сравним углы в ΔBDC1:

Мы сравниваем ∠BC1D и ∠DBC1 (который равен ∠ABC).

Мы установили, что ∠BC1D = ∠BAC + ∠ABC.

Так как ∠BAC является углом треугольника и, следовательно, ∠BAC > 0°, то:
∠BAC + ∠ABC > ∠ABC.

Следовательно, ∠BC1D > ∠ABC (или ∠BC1D > ∠DBC1).

6. Применим теорему о соотношении сторон и углов в треугольнике ΔBDC1:

В треугольнике против большего угла лежит большая сторона.

Против угла ∠BC1D (который больше) лежит сторона BD.

Против угла ∠DBC1 (который меньше) лежит сторона C1D.

Поскольку ∠BC1D > ∠DBC1, то BD > C1D.

7. Из пункта 2 мы знаем, что C1D = CD.

Из пункта 6 мы доказали, что BD > C1D.

Следовательно, BD > CD.

Что и требовалось доказать.