ГДЗ по геометрии 7 класс В. Ф. Бутузов, И. И. Юдина, Л. С. Атанасян, С. Б. Кадомцев, Э. Г. Позняк упражнение - 345 стр. 93

1. Продолжим сторону BA за вершину A до точки D так, чтобы отрезок AD был равен отрезку AC (AD = AC).

2. Так как AE — биссектриса угла BAC, то угол BAE = угол CAE. Обозначим этот угол как α.

Прямая MH перпендикулярна биссектрисе AE. Это означает, что угол EAH = 90°.

3. Рассмотрим угол CAH. Поскольку точки E, A, H лежат на одной прямой MH, а AE перпендикулярна MH, то угол EAH = 90°.

Угол CAH = угол EAH — угол CAE = 90° — α.

Теперь рассмотрим угол DAH. Поскольку точки D, A, B лежат на одной прямой (DAB — развернутый угол), угол DAB = 180°.

Угол DAE = угол DAB — угол BAE = 180° — α.

Теперь найдем угол DAH: угол DAH = угол DAE — угол EAH = (180° — α) — 90° = 90° — α.

Из полученных равенств следует, что угол CAH = угол DAH.

4. Рассмотрим треугольники CAH и DAH:

Сторона AC = стороне AD (по построению).

Сторона AH — общая.

Угол CAH = углу DAH (доказано в пункте 3).

По признаку равенства треугольников по двум сторонам и углу между ними, треугольник CAH равен треугольнику DAH.

Из равенства треугольников следует равенство соответствующих сторон: CH = DH.

5. Рассмотрим треугольник DBH.

По неравенству треугольника, сумма любых двух сторон треугольника больше третьей стороны. Следовательно, DH + BH > DB.

6. Мы знаем, что DH = CH (из пункта 4).

Мы знаем, что DB = DA + AB. А так как DA = AC (по построению), то DB = AC + AB.

Подставим эти выражения в неравенство из пункта 5:

CH + BH > AC + AB.

7. Периметр треугольника BCH (P_BCH) = BC + CH + BH.

Периметр треугольника ABC (P_ABC) = BC + AB + AC.

Из пункта 6 мы имеем неравенство CH + BH > AC + AB.

Прибавим BC к обеим частям этого неравенства:

BC + CH + BH > BC + AC + AB.

Таким образом, P_BCH > P_ABC.

Что и требовалось доказать.