ГДЗ по геометрии 7 класс В. Ф. Бутузов, И. И. Юдина, Л. С. Атанасян, С. Б. Кадомцев, Э. Г. Позняк упражнение - 382 стр. 104

1. Свойство диагоналей параллелограмма ABCD:

По свойству диагоналей параллелограмма, они делятся точкой пересечения пополам. Следовательно, точка O является серединой обеих диагоналей AC и BD.

Это означает:

AO = OC

BO = OD

2. Рассмотрим диагональ A1C1 четырехугольника A1B1C1D1:

Точка A1 является серединой отрезка OA. Значит, OA1 = A1A, или, что эквивалентно, длина отрезка A1O составляет половину длины отрезка AO: A1O = 1/2 AO.

Точка C1 является серединой отрезка OC. Значит, OC1 = C1C, или, что эквивалентно, длина отрезка C1O составляет половину длины отрезка OC: C1O = 1/2 OC.

Поскольку AO = OC (из пункта 1), то 1/2 AO = 1/2 OC.

Следовательно, A1O = C1O.

Это означает, что точка O является серединой отрезка A1C1.

3. Рассмотрим диагональ B1D1 четырехугольника A1B1C1D1:

Точка B1 является серединой отрезка OB. Значит, OB1 = B1B, или B1O = 1/2 BO.

Точка D1 является серединой отрезка OD. Значит, OD1 = D1D, или D1O = 1/2 OD.

Поскольку BO = OD (из пункта 1), то 1/2 BO = 1/2 OD.

Следовательно, B1O = D1O.

Это означает, что точка O является серединой отрезка B1D1.

4. Вывод о параллелограмме A1B1C1D1:

Мы показали, что диагонали A1C1 и B1D1 четырёхугольника A1B1C1D1 пересекаются в точке O и делятся этой точкой пополам (A1O = C1O и B1O = D1O).

По признаку параллелограмма, если диагонали четырёхугольника пересекаются и в точке пересечения делятся пополам, то этот четырёхугольник является параллелограммом.

Таким образом, четырёхугольник A1B1C1D1 — параллелограмм.

Что и требовалось доказать.