ГДЗ по геометрии 7 класс В. Ф. Бутузов, И. И. Юдина, Л. С. Атанасян, С. Б. Кадомцев, Э. Г. Позняк упражнение - 439 стр. 115

1. Из вершины N (середины основания BC) проведем прямую NE, параллельную боковой стороне AB, до пересечения с основанием AD в точке E.

Из вершины N также проведем прямую NF, параллельную боковой стороне CD, до пересечения с основанием AD в точке F.

Четырёхугольник ABNE: у нас есть AB || NE (по построению) и AD || BC (по определению трапеции), значит AE || BN. Поскольку обе пары противоположных сторон параллельны, четырёхугольник ABNE является параллелограммом по определению.

Четырёхугольник NCDF: вналогично, CD || NF (по построению) и AD || BC, значит FD || NC. Поскольку обе пары противоположных сторон параллельны, четырёхугольник NCDF также является параллелограммом по определению.

2. Так как NCDF — параллелограмм (из пункта 1), его противоположные стороны равны.

Следовательно, NC = FD и NF = CD.

3. Так как ABNE — параллелограмм (из пункта 1), его противоположные стороны равны.

Следовательно, BN = AE и AB = NE.

4. Нам дано, что M — середина отрезка AD (AM = MD).

Нам также дано, что N — середина отрезка BC (BN = NC).

Из пункта 3, мы знаем, что AE = BN.

Из пункта 2, мы знаем, что FD = NC.

Так как BN = NC, то отсюда следует, что AE = FD.

Отрезок AD можно представить как сумму отрезков: AD = AE + EF + FD.

Поскольку AE = FD, и M является серединой AD (AM = MD), то отрезки AM и MD включают в себя равные «крайние» части AE и FD. Это означает, что точка M должна быть серединой отрезка EF (т.е. EM = MF).

Таким образом, в треугольнике ENF, отрезок MN соединяет вершину N с серединой противоположной стороны EF. Следовательно, MN является медианой треугольника ENF.

5. Так как NE || AB (по построению), и AD является секущей, то угол ∠A (∠BAE) и угол ∠NEM являются соответственными углами. Следовательно, ∠A = ∠NEM.

Аналогично, так как NF || CD (по построению), и AD является секущей, то угол ∠D (∠CDF) и угол ∠NFM являются соответственными углами. Следовательно, ∠D = ∠NFM.

6. Нам дано, что сумма углов при основании AD равна 90°: ∠A + ∠D = 90°.

Из пункта 5, мы знаем, что ∠A = ∠NEM и ∠D = ∠NFM.

Следовательно, сумма углов ∠NEM + ∠NFM = ∠A + ∠D = 90°.

Угол ∠ENF — это угол треугольника ENF. Поскольку NE и NF параллельны AB и CD соответственно, и сумма углов ∠A + ∠D = 90°, то линии AB и CD, если их продлить, пересекутся под прямым углом. Аналогично, прямые NE и NF также пересекаются под прямым углом.

Таким образом, ∠ENF = 90°.

Следовательно, треугольник ENF является прямоугольным с прямым углом при вершине N.

7. В прямоугольном треугольнике ENF, EF является гипотенузой, а MN — медианой, проведенной к этой гипотенузе (из пункта 4).

Известное свойство прямоугольного треугольника гласит, что медиана, проведенная к гипотенузе, равна половине длины гипотенузы.

Следовательно, MN = 1/2 EF.

8. Отрезок AD является суммой отрезков AE, EF и FD: AD = AE + EF + FD.

Выразим EF: EF = AD — AE — FD.

Из пункта 3, мы знаем, что AE = BN.

Из пункта 2, мы знаем, что FD = NC.

Подставим эти равенства в выражение для EF: EF = AD — BN — NC.

Так как N является серединой основания BC, то BN + NC = BC.

Следовательно, EF = AD — BC.

9. Из пункта 7, мы знаем, что MN = 1/2 EF.

Из пункта 8, мы знаем, что EF = AD — BC.

Подставим выражение для EF в равенство для MN: MN = 1/2 (AD — BC).

Что и требовалось доказать.