ГДЗ по геометрии 7 класс В. Ф. Бутузов, И. И. Юдина, Л. С. Атанасян, С. Б. Кадомцев, Э. Г. Позняк упражнение - 490 стр. 132

а) Пусть дан равнобедренный треугольник ABC, где BC — основание, BC = 12 см. Высота, проведённая к основанию из вершины A, пусть будет AH, AH = 8 см.

В равнобедренном треугольнике высота, проведённая к основанию, является также медианой. Это значит, что точка H делит основание BC пополам.

BH = HC = BC / 2 = 12 см / 2 = 6 см.

Треугольник ABH является прямоугольным, так как AH — высота. Угол AHB = 90°.

В этом прямоугольном треугольнике AB — это гипотенуза (боковая сторона равнобедренного треугольника), а AH и BH — катеты.

По теореме Пифагора:

AB² = AH² + BH²

Находим боковую сторону AB:

AB² = 8² + 6²

AB² = 64 + 36

AB² = 100

AB = √100

AB = 10 см.

Площадь треугольника равна половине произведения основания на высоту:

S = (1/2) * a * h, где a — основание, h — высота

S = (1/2) * BC * AH

S = (1/2) * 12 см * 8 см

S = 6 * 8

S = 48 см².

б) Пусть дан равнобедренный треугольник ABC, где BC — основание, BC = 18 см. Угол при вершине A (противолежащий основанию) равен 120°.

Проведём высоту AH к основанию BC. В равнобедренном треугольнике AH является также медианой и биссектрисой угла при вершине A.

H — середина BC, BH = HC = BC / 2 = 18 см / 2 = 9 см.

Угол BAH = Угол CAH = Угол BAC / 2 = 120° / 2 = 60°.

Треугольник ABH является прямоугольным (Угол AHB = 90°). В этом треугольнике Угол BAH = 60°, Угол ABH (угол при основании) = 180° — 90° — 60° = 30°.

Мы имеем прямоугольный треугольник с углами 30°, 60°, 90°.

В таком треугольнике сторона, лежащая против угла 30° (это катет AH), равна половине гипотенузы (это боковая сторона AB). Сторона, лежащая против угла 60° (это катет BH), равна произведению стороны против угла 30° на √3.

Пусть AH = x. Тогда AB = 2x, а BH = x√3.

Мы знаем BH = 9 см.

Значит, x√3 = 9.

x = 9 / √3 = (9√3) / 3 = 3√3 см.

Высота AH = 3√3 см.

Боковая сторона AB = 2x = 2 * (3√3) = 6√3 см.

Находим площадь треугольника ABC:

S = (1/2) * a * h, где a — основание, h — высота

S = (1/2) * BC * AH

S = (1/2) * 18 см * (3√3) см

S = 9 * 3√3

S = 27√3 см².

в) Поскольку треугольник прямоугольный и равнобедренный, прямой угол находится при вершине между равными сторонами (боковыми сторонами). Углы при основании (гипотенузе) равны (180° — 90°) / 2 = 45°.

Пусть прямой угол при вершине A, а основание (гипотенуза) — BC. AB = AC (боковые стороны). Углы B и C равны 45°.

Высота, проведённая к гипотенузе BC, пусть будет AH. AH = 7 см.

В прямоугольном треугольнике высота к гипотенузе делит его на два меньших прямоугольных треугольника, подобных исходному и друг другу.

Рассмотрим треугольник ABH. Угол AHB = 90°. Угол B = 45° (так как это угол при основании исходного треугольника). Значит, Угол BAH = 180° — 90° — 45° = 45°.

Треугольник ABH является прямоугольным и равнобедренным, с равными катетами AH и BH.
AH = BH = 7 см.

Аналогично, рассмотрим треугольник ACH. Угол AHC = 90°. Угол C = 45°. Значит, Угол CAH = 45°. Треугольник ACH является прямоугольным и равнобедренным, с равными катетами AH и CH.
AH = CH = 7 см. Основание (гипотенуза) BC = BH + HC = 7 см + 7 см = 14 см.

Находим боковую сторону AB (или AC). Используем теорему Пифагора в прямоугольном треугольнике ABH:

AB² = AH² + BH²

AB² = 7² + 7²

AB² = 49 + 49

AB² = 2 * 49

AB = √(2 * 49) = √49 * √2 = 7√2 см.

Боковая сторона равна 7√2 см.

Находим площадь треугольника ABC:

S = (1/2) * a * h, где a — основание, h — высота

S = (1/2) * BC * AH

S = (1/2) * 14 см * 7 см

S = 7 * 7

S = 49 см².