ГДЗ по геометрии 7 класс В. Ф. Бутузов, И. И. Юдина, Л. С. Атанасян, С. Б. Кадомцев, Э. Г. Позняк упражнение - 5 стр. 113

1. Внешний угол многоугольника в вершине — это угол, образованный одной из сторон многоугольника и продолжением соседней стороны. Пусть у нас есть выпуклый многоугольник с вершинами A1​, A2​,…, An​.

2. При каждой вершине Ai​ мы можем взять внешний угол Ei​. Таким образом, сумма внешних углов будет равна:

S_E​=E1​+E2​+…+En​.

3. Внутренний угол Ai​ обозначим как Ii​. По определению:

Ei​=180∘−Ii​.

4. Подставим выражение для каждого внешнего угла в сумму:

S_E​=(180∘−I1​)+(180∘−I2​)+…+(180∘−In)​.

5. Это можно записать как:

S_E​=180∘n−(I1​+I2​+…+In​).

6. Сумма внутренних углов выпуклого многоугольника с n вершинами выражается формулой:

S_I​=(n−2)⋅180∘.

7. Подставим значение суммы внутренних углов в уравнение для суммы внешних углов: ​

S_E​=180∘n−(n−2)⋅180∘ ​

S_E​=180∘n−(n−2)⋅180∘=180∘n−180∘n+360∘=360∘.