Главная/ 7 класс/ Геометрия/ Геометрия 7-9/ 500 стр. 134

ГДЗ по геометрии 7 класс В. Ф. Бутузов, И. И. Юдина, Л. С. Атанасян, С. Б. Кадомцев, Э. Г. Позняк упражнение - 500 стр. 134

1...548549550...623

500 стр. 134

Условие

Докажите, что площадь квадрата, построенного на катете равнобедренного прямоугольного треугольника, вдвое больше площади квадрата, построенного на высоте, проведённой к гипотенузе.

Решение #1

1. Пусть $A C = BC = a$ . Тогда площадь квадрата, построенного на катете $A C$ (или $BC$ ), равна:

$S_{B D EC} = a^{2} .$

2. Рассмотрим треугольник $A BC$ , где угол $C$ равен 90 градусов. Поскольку $A C = BC$ , треугольник $A BC$ является равнобедренным. Обозначим длину гипотенузы $A B$ . По теореме Пифагора имеем:

$A B^{2} = A C^{2} + B C^{2} = a^{2} + a^{2} = 2 a^{2},$

откуда следует, что

$A B = a\sqrt 2 .$

Поскольку $CO$ — медиана, то отрезки $A O$ и $OB$ равны, и их длина составляет:

$A O = OB = A B =(a\sqrt 2 = \sqrt 2/2 a .$

3. Теперь применим теорему Пифагора к треугольнику $A OC$ :

$A C^{2} = A O^{2} + O C^{2} .$

Подставляя известные значения, получаем:

$a^{2} = (\sqrt 2/2 a)^{2} + O C^{2} .$

Вычислим квадрат длины отрезка $A O$ :

$O C^{2} = a^{2} - (\sqrt 2/2 a)^{2} = a^{2} -1/2 a^{2} =1/2 a^{2} .$

Таким образом,

$OC =\sqrt(1/2) a = a .$

4. Теперь найдем площадь квадрата, построенного на высоте $OC$ :

$S_{A OC K} = O C^{2} = (a)^{2} =1/2 a^{2} .$

5. Площадь квадрата на катете:

$S_{B D EC} = a^{2},$

Площадь квадрата на высоте:

$S_{A OC K} =1/2 a^{2} .$

Теперь покажем, что площадь квадрата на катете вдвое больше площади квадрата на высоте:

$S_{B D EC} = 2 S_{A OC K} .$

Сообщить об ошибке

1...548549550...623