Главная/ 7 класс/ Геометрия/ Геометрия 7-9/ 509 стр. 134

ГДЗ по геометрии 7 класс В. Ф. Бутузов, И. И. Юдина, Л. С. Атанасян, С. Б. Кадомцев, Э. Г. Позняк упражнение - 509 стр. 134

1...556557558...577

509 стр. 134

Условие

Докажите, что сумма расстояний от точки, лежащей внутри равностороннего треугольника, до его сторон не зависит от положения этой точки.

Решение #1

1. Пусть $A BC$ — равносторонний треугольник с $A B = BC = A C$ . Обозначим произвольную точку внутри треугольника как $O$ .

2. Проведем перпендикуляры из точки $O$ к сторонам треугольника: $OQ$ — перпендикуляр к стороне $BC$ , $O H$ — перпендикуляр к стороне $A C$ , $OF$ — перпендикуляр к стороне $A B$ . Также проведем перпендикуляры из некоторой другой точки внутри треугольника (например, точки $E$ ): $EN$ — перпендикуляр к стороне $BC$ , $E K$ — перпендикуляр к стороне $A C$ , $EM$ — перпендикуляр к стороне $A B$ .

3. Рассмотрим площадь треугольника $A BC.$ Площадь можно выразить через высоту, проведенную к любой из сторон:

$S_{A BC} = S_{A OB} + S_{BOC} + S_{A OC} .$

4. Площадь можно также выразить следующим образом:

$S_{A BC} = S_{A OC} + S_{A BE} + S_{BEC} .$

5. Теперь у нас есть два выражения для площади треугольника:

$S_{A OB} + S_{BOC} + S_{A OC} = S_{A BE} + S_{BEC} + S_{A OC} .$

6. Подставляем формулы для площадей в терминах высот:

$1/2 A C * O H +1/2 BC * OQ +1/2 A B * OF =1/2 A C * E K +1/2 BC * EN +1/2 A B * EM .$

7. Учитывая, что стороны равностороннего треугольника равны ( $A B = BC = A C$ ), можем упростить выражение. Так как все стороны равны, обозначим их как просто $a$ :

$a (O H + OQ + OF) = a (E K + EN + EM) .$

8. Теперь можем выделить сумму расстояний от точки до боковых сторон:

$O H + OQ + OF = E K + EN + EM .$

Сообщить об ошибке

1...556557558...577