ГДЗ по геометрии 7 класс В. Ф. Бутузов, И. И. Юдина, Л. С. Атанасян, С. Б. Кадомцев, Э. Г. Позняк упражнение - 510 стр. 134

1. Пусть D — точка на стороне BC треугольника ABC. Проведем прямые через точку D, параллельные сторонам AB и AC, которые пересекают стороны AB и AC в точках E и F соответственно. Таким образом, мы имеем: EF∣∣AB и EF∣∣AC

2. Из свойств параллельных прямых следует, что параллелограмм EDFC: стороны ED∣∣FC и EF∣∣DC. Это значит, что противолежащие стороны равны, и диагонали пересекаются.

3. Площадь параллелограмма можно выразить через его диагонали. Площадь параллелограмма равна половине произведения длин диагоналей:

S_EDFC​=2S_EDF​.

4. Параллелограмм FDEB: стороны FD∣∣EB и FE∣∣DB. Также здесь выполняется аналогичное свойство.

5. Аналогично, площадь второго параллелограмма можно выразить через его диагонали: • Площадь этого параллелограмма равна половине произведения длин диагоналей:

S_FDEB​=2S_BDF​.

6. Мы знаем, что

S_EDF​=S_CDE​+S_BDF​.

Так как площади треугольников равны половине площадей соответствующих параллелограммов, то имеем:

S_CDE​+S_BDF​=S_EDF​.

7. Из предыдущих выводов у нас есть два равенства для площадей:

S_CDE​=S_EDF​−S_BDF​,

и также

S_BDF​=S_FDEB​/2.

8. Учитывая, что площади треугольников пропорциональны высотам (так как они имеют общую базу), получаем:

S_CDE​=S_BDF​,

что и требовалось доказать.