ГДЗ по геометрии 7 класс В. Ф. Бутузов, И. И. Юдина, Л. С. Атанасян, С. Б. Кадомцев, Э. Г. Позняк упражнение - 543 стр. 140

543 стр. 140

Условие

Докажите, что отношение сходственных сторон подобных треугольников равно отношению высот, проведённых к этим сторонам.

Решение #1

1. Пусть даны подобные треугольники $A BC$ и $A_{1} B_{1} C_{1}$ , и пусть отношение сходственных сторон равно $k$ :

$A B/A ^{1} B ^{1} = k .$

2. Используем теорему об отношении площадей подобных треугольников.

Согласно этой теореме, отношение площадей треугольников $A BC$ и $A_{1} B_{1} C_{1}$ равно квадрату отношения сходственных сторон:

$S ^{A BC} = k^{2} .$

3. Площадь треугольника $A BC$ :

$S_{A BC} =1/2 * A B \cdot h,$

где $h$ — высота, проведенная из вершины $C$ на сторону $A B$ .

Площадь треугольника $A_{1} B_{1} C_{1}$ :

$S_{A 1 B 1 C 1} =1/2 * A_{1} B_{1} \cdot h_{1},$

где $h_{1}$ — высота, проведенная из вершины $C_{1}$ на сторону $A_{1} B_{1}$ .

4. Теперь подставим выражения для площадей в уравнение отношения площадей:

$\frac{\frac{1}{2} A B \cdot h}{\frac{1}{2} A_{1} B_{1} \cdot h_{1}} = k^{2} .$

$= k^{2} .$

Упрощая, получаем:

$A B \cdot h = k^{2} .$

5. Теперь выразим отношение сторон через высоты:

$A B / A_{1} B_{1} = k^{2} \cdot (h_{1} / h) .$

6. Подставим известное значение для отношения сторон:

Так как мы знаем, что

$A B / A_{1} B_{1} = k,$

то можем записать:

$k = k^{2} \cdot (h / h_{1}) .$

7. Разделим обе стороны на $k$ (при условии, что $k не равно 0$ ):

$h / h_{1} = k .$

Таким образом, мы получили, что

$h = k .$

8. Следовательно, мы доказали, что отношение сходственных сторон подобных треугольников равно отношению высот, проведенных к этим сторонам:

$A B = h/h ^{1} .$

Сообщить об ошибке