ГДЗ по геометрии 7 класс В. Ф. Бутузов, И. И. Юдина, Л. С. Атанасян, С. Б. Кадомцев, Э. Г. Позняк упражнение - 547 стр. 141

547 стр. 141

Условие

Докажите, что отношение периметров двух подобных треугольников равно коэффициенту подобия.

Решение #1

1. Пусть даны подобные треугольники $A BC$ и $A_{1} B_{1} C_{1}$ . По условию, у нас есть:

$A BC \sim A_{1} B_{1} C_{1},$

что означает, что треугольники подобны.

2. Поскольку треугольники подобны, то отношение их соответствующих сторон равно коэффициенту подобия $k$ :

$A B = BC = A C = k .$

3. Из этого следует, что:

$A B = k \cdot A_{1} B_{1},$

$BC = k \cdot B_{1} C_{1},$

$A C = k \cdot A_{1} C_{1} .$

4. Периметр треугольника $A BC$ можно выразить как сумму его сторон:

$P_{A BC} = A B + BC + A C .$

Подставляя выражения для сторон, получаем:

$P_{A BC} = k \cdot A_{1} B_{1} + k \cdot B_{1} C_{1} + k \cdot A_{1} C_{1} .$

5. Вынесем коэффициент $k$ за скобки:

$P_{A BC} = k (A_{1} B_{1} + B_{1} C_{1} + A_{1} C_{1}) .$

6. Периметр треугольника $A_{1} B_{1} C_{1}$ :

$P_{A 1 B 1 C 1} = A_{1} B_{1} + B_{1} C_{1} + A_{1} C_{1} .$

7. Теперь найдем отношение периметров двух треугольников:

$= k (A_{1} B_{1} + B_{1} C_{1} + A_{1} C_{1})/ A_{1} B_{1} + B_{1} C_{1} + A_{1} C_{1} .$

8. Поскольку в числителе и знаменателе одинаковые суммы, мы можем упростить:

$= k .$

Сообщить об ошибке