ГДЗ по геометрии 7 класс В. Ф. Бутузов, И. И. Юдина, Л. С. Атанасян, С. Б. Кадомцев, Э. Г. Позняк упражнение - 6 стр. 48

Теорема о перпендикуляре, проведённом из данной точки к данной прямой:

Из любой точки, не лежащей на прямой, можно провести единственный перпендикуляр к этой прямой.

Доказательство:

Пусть A — точка, не лежащая на прямой l. Мы будем доказывать существование и единственность перпендикуляра, проведённого из точки A к прямой l.

1. Проведём произвольный отрезок AB из точки A до прямой l, где B — точка пересечения отрезка с прямой. Затем построим угол ∠ABE=90∘, где E — произвольная точка на прямой, отличная от B. По свойству углов, угол ∠ABE будет равен 90°.

2. Предположим, что существует другой перпендикуляр AC, проведённый из точки A к прямой l, который также пересекает прямую в точке C. Тогда угол ∠ABC=90∘ и угол ∠ACB=90∘. Поскольку сумма углов в треугольнике равна 180°, это может быть выполнено только в том случае, если точки B и C совпадают. Таким образом, перпендикуляры из точки A к прямой могут пересекаться только в одной точке.

Следовательно, мы доказали, что из любой точки, не лежащей на данной прямой, можно провести единственный перпендикуляр к этой прямой.