ГДЗ по геометрии 7 класс В. Ф. Бутузов, И. И. Юдина, Л. С. Атанасян, С. Б. Кадомцев, Э. Г. Позняк упражнение - 605 стр. 159

605 стр. 159

Условие

Диагональ АС трапеции ABCD делит её на два подобных треугольника. Докажите, что АС²= a ⋅ b, где a и b — основания трапеции.

Решение #1

Основания трапеции $A B = a$ и $C D = b$ , диагональ $A C$ .

По условию, диагональ $A C$ делит трапецию на два треугольника A $BC$ и $A C D$ , которые являются подобными. Это значит, что выполняется отношение:

$A B/CD = A C = BC/AC$

Пусть $A D = h_{1}$ и $BC = h_{2}$ . Тогда по свойству подобия треугольников у нас есть:

$a/b = A C/AD$

Обозначим длину диагонали как $A C = x$ . Тогда из вышеуказанного соотношения можно выразить сторону $A D$ :

$A D =(b/a) x$

Теперь рассмотрим отношение сторон для второго треугольника.

Согласно свойству пропорции для подобных треугольников, мы можем записать:

$BC = k$

где

$k = a/b = co n s t .$

Следовательно,

$BC = k x$

Согласно теореме о подобии, у нас также есть следующее равенство:

$BC/AC = k$

$k = x/AD$

Из подобия треугольников следует также, что

$BC : A C : A D = a : x : b$

Теперь воспользуемся указанным вами направлением. Мы знаем, что

$BC / A C = A C / A D$

Это означает:

$BC \cdot A D = A C^{2}$

Из первого соотношения:

$BC = k x = (a / b) x$

Подставляем в равенство:

$BC * A D = (a / b) x * (b / a) x = x^{2} => A C^{2} = a * b .$

Таким образом, мы приходим к искомому результату:

$A C^{2} = a \cdot b .$

Сообщить об ошибке