решебник.рф ГДЗ по геометрии 7 класс В. Ф. Бутузов, И. И. Юдина, Л. С. Атанасян, С. Б. Кадомцев, Э. Г. Позняк упражнение - 611 стр. 160
1. Пусть и — концы отрезка, который параллелен стороне , где точка лежит на стороне , а точка — на стороне . Параллельность отрезка и стороны означает, что:
2. Рассмотрим треугольники и :
- Угол общий.
- Углы (как соответственные углы).
Следовательно, треугольники и подобны по двум углам.
3. Из подобия треугольников имеем:
Отсюда можно выразить длину отрезка :
4. Теперь рассмотрим треугольники и :
- Угол общий.
- Угол (как соответственные углы).
Следовательно, треугольники также подобны по двум углам.
5. Из подобия треугольников имеем:
Отсюда можно выразить длину отрезка :
6. Мы получили два выражения.
Для отрезка :
Для отрезка :
7. Так как отрезок , то из свойств параллельных линий следует, что:
8. Тогда подставляя равенство между отрезками в первое уравнение, получаем:
9. Длина отрезка между двумя точками равна половине соответствующего отрезка в другом треугольнике.
10. Поскольку медиана делит сторону пополам и оба полученных отрезка равны между собой (то есть медиана делит пополам любой отрезок, параллельный основанию), мы можем заключить:
где обе части равны, следовательно,