Главная/ 7 класс/ Геометрия/ Геометрия 7-9/ 645 стр. 166

ГДЗ по геометрии 7 класс В. Ф. Бутузов, И. И. Юдина, Л. С. Атанасян, С. Б. Кадомцев, Э. Г. Позняк упражнение - 645 стр. 166

1...667668669...704

645 стр. 166

Условие

Из концов диаметра AB данной окружности проведены перпендикуляры АА1 и BB1 к касательной, которая не перпендикулярна к диаметру AB. Докажите, что точка касания является серединой отрезка A1B1.

Решение #1

1. Из условия, что $A A_{1}$ и $B B_{1}$ перпендикулярны к касательной $l$ , следует, что они параллельны:

$A A_{1} ∥ B B_{1} .$

Это означает, что фигура $A BC D$ является прямоугольной трапецией, где $A B$ — основание, а $A_{1} B_{1}$ — другое основание.

2. Поскольку $OC$ перпендикулярно к касательной $l$ , то отрезок $OC$ также перпендикулярен к отрезкам $A A_{1}$ и $B B_{1}$ . Это значит, что все три линии ( $A A_{1}, OC, B B_{1}$ ) находятся в одной плоскости и пересекаются под прямым углом.

3. По теореме Фалеса, если проведены две параллельные линии (в данном случае $A A_{1}$ и $B B_{1}$ ), то отрезок, соединяющий середины двух оснований (в данном случае отрезок $OC$ ), будет равен половине разности длин этих оснований. Так как точки касания окружности делят отрезки на равные части (поскольку окружность симметрична относительно диаметра):

$A_{1} C = C B_{1} .$

4. Таким образом, мы доказали, что точка касания окружности с касательной является серединой отрезка $A_{1} B_{1}$ :

$A_{1} C = C B_{1} .$

Сообщить об ошибке

1...667668669...704