Главная/ 7 класс/ Геометрия/ Геометрия 7-9/ 647 стр. 167

ГДЗ по геометрии 7 класс В. Ф. Бутузов, И. И. Юдина, Л. С. Атанасян, С. Б. Кадомцев, Э. Г. Позняк упражнение - 647 стр. 167

1...669670671...704

647 стр. 167

Условие

Отрезок АН — перпендикуляр, проведённый из точки А к прямой, проходящей через центр О окружности радиуса 3 см. Является ли прямая АН касательной к окружности, если: а) ОА = 5 см, АН = 4 см; б) ∠HAO = 45°, ОА = 4 см; в) ∠HAO = 30°, ОА = 6 см?

Решение #1

а) В этом случае мы имеем прямоугольный треугольник $A O H$ , где $O A = 5 см,$ $A H = 4 см.$

По теореме Пифагора:

$O H^{2} = O A^{2} - A H^{2}$

Подставляем значения:

$O H^{2} = 5^{2} - 4^{2} = 25 - 16 = 9$

Следовательно,

$O H = 3 см$

Так как радиус окружности $r = 3 см$ и $O H = r$ , то отрезок $O H$ перпендикулярен $A H$ . Это означает, что прямая $A H$ является касательной к окружности.

б) Здесь угол $H O A = 45°$ , следовательно угол

$O A H = 90° - 45° = 45°$ .

Это означает, что треугольник $O A H$ является равнобедренным. Следовательно:

$A H = O H$

Теперь применим теорему Пифагора для треугольника $A O H$ :

$O H^{2} + A H^{2} = O A^{2}$

Поскольку $A H = O H$ , обозначим их как $x$ :

$x^{2} + x^{2} = O A^{2}$

$2 x^{2} = O A^{2}$

Подставляем значение для $O A = 4 см$ :

$2 x^{2} = 4^{2}$

$2 x^{2} = 16$

$x^{2} = 8$

Следовательно,

$O H = A H = x = 2\sqrt 2$

Теперь сравниваем с радиусом окружности:

$O H (\approx 2,83)\neq r (3)$ .

Таким образом, отрезок $O H\neq r$ , значит прямая $A H$ не является касательной к окружности.

в) Треугольник $A O H$ является прямоугольным. Мы можем использовать соотношение в прямоугольном треугольнике для нахождения длины отрезка $O H$ :

$O H = O A \cdot cos (30°)$

Поскольку угол $H O A = 30°$ , то по свойству прямоугольного треугольника:

$O H = O A \cdot sin (30°)$

Так как $O A = 6 см$ и $s in (30°) =1/2$ :

$O H = 6 \cdot sin (30°) = 6 \cdot1/2 = 3 см$

4. Радиус окружности равен

$r = 3 см$ .

Поскольку отрезок $O H$ равен радиусу окружности и перпендикулярен отрезку $A H$ , то прямая $A H$ является касательной к окружности.

Сообщить об ошибке

1...669670671...704