Главная/ 7 класс/ Геометрия/ Геометрия 7-9/ 676 стр. 177

ГДЗ по геометрии 7 класс В. Ф. Бутузов, И. И. Юдина, Л. С. Атанасян, С. Б. Кадомцев, Э. Г. Позняк упражнение - 676 стр. 177

1...694695696...704

676 стр. 177

Условие

Стороны угла А касаются окружности с центром О радиуса r. Найдите: а) ОА, если r = 5 см, ∠A = 60°; б) r, если ОА = 14 дм, ∠A = 90°.

Решение #1

а) Найдем $O A$ , если $r = 5$ см и $∠ A = 6 0^{\circ}$ .

1. Из условия следует, что точки касания окружности с углом $A$ обозначены как $B$ и $C$ . Поскольку радиусы, проведенные к точкам касания, перпендикулярны к касательным, мы имеем:

$OB ⊥ A B$

$OC ⊥ A C$

2. Поскольку $O A$ является биссектрисой угла $A$ , то углы:

$∠ B A O = ∠ O A C = 3 0^{\circ}$ .

3. Рассмотрим треугольник $A BO$ :

Угол $A OB = 9 0^{\circ} - 3 0^{\circ} = 6 0^{\circ}$ .

В этом треугольнике по свойству прямоугольного треугольника:

$A O = 2 BO .$

Поскольку радиус окружности равен $r = 5$ см, то:

$BO = r = 5 см .$

Следовательно:

$A O = 2 BO = 2 \times 5 см = 10 см .$

б) Найдем $r$ , если $O A = 14 дм$ и $∠ A = 9 0^{\circ}$ .

1. По аналогии, мы можем сказать, что:

Углы $B A O = O A C = 4 5^{\circ}$ .

2. Рассмотрим треугольник $A BO.$ Угол $BO A = 9 0^{\circ} - 4 5^{\circ} = 4 5^{\circ}$ . Треугольник является равнобедренным, следовательно:

$A B = BO$ .

3. По теореме Пифагора в треугольнике $A OB:$

$A O^{2} = A B^{2} + B O^{2} .$

Обозначим радиус как $r$ :

$A O^{2} = r^{2} + r^{2},$

или

$A O^{2} = 2 r^{2} .$

4. Так как $A O = 14 дм$ :

$(14)^{2} = 2 r^{2} .$

Это дает нам:

$196 = 2 r^{2},$

откуда

$r^{2} = 98.$

5. Извлекаем корень из уравнения:

r=7√2 дм.

Сообщить об ошибке

1...694695696...704