ГДЗ по геометрии 7 класс В. Ф. Бутузов, И. И. Юдина, Л. С. Атанасян, С. Б. Кадомцев, Э. Г. Позняк упражнение - 678 стр. 177

а)

1. Точка M является точкой пересечения биссектрис AA1​ и BB1​, следовательно, CM — биссектриса угла C. Это означает, что:

∠BCM=∠MCA.

2. Рассмотрим треугольник ABM. Сумма углов в треугольнике равна 180∘:

∠BAM+∠ABM=180∘−136∘=44∘.

3. Обозначим x=∠BAM, y=∠ABM. Тогда:

x+y=44∘.

4. Углы при вершине A и B. Поскольку AA1​ — биссектриса, то A=2x. Поскольку BB1​ — биссектриса, то B=2y.

5. Угол при вершине C:

∠C=180∘−(∠A+∠B)=180∘−(2x+2y).

Так как x+y=44∘, то:

∠C=180∘−(2(44∘))=180∘−88∘=92∘.

6. Поскольку угол C делится пополам биссектрисой, то:

∠ACM=∠BCM=∠C/2=92∘/2=46∘.

б)

1. Поскольку M — точка пересечения биссектрис AA1​ и BB1​, то отрезок CM является биссектрисой угла C. Это означает, что:

∠BCM=∠MCA.

2. Рассмотрим треугольник ABM. Сумма углов в треугольнике равна 180∘:

∠BAM+∠ABM=180∘−111∘=69∘.

3. Обозначим x=∠BAM, y=∠ABM. Тогда:

x+y=69∘.

4. Поскольку AA1​ — биссектриса, то угол при вершине A: A=2x. Поскольку BB1​ — биссектриса, то угол при вершине B: B=2y.

5. Угол при вершине C:

∠C=180∘−(∠A+∠B)=180∘−(2x+2y).

Так как x+y=69∘, то:

∠C=180∘−(2(69∘))=180∘−138∘=42∘.

6. Поскольку угол C делится пополам биссектрисой, то:

∠ACM=∠BCM=∠C/2=42∘/2=21∘.