Главная/ 7 класс/ Геометрия/ Геометрия 7-9/ 685 стр. 178

ГДЗ по геометрии 7 класс В. Ф. Бутузов, И. И. Юдина, Л. С. Атанасян, С. Б. Кадомцев, Э. Г. Позняк упражнение - 685 стр. 178

685 стр. 178

Условие

Высоты АА1 и ВВ1 равнобедренного треугольника ABC, проведённые к боковым сторонам, пересекаются в точке М. Докажите, что прямая МС — серединный перпендикуляр к отрезку AB.

Решение #1

1. Пусть высоты $A A_{1}$ и $B B_{1}$ равнобедренного треугольника $A BC$ , проведенные к боковым сторонам $A C$ и $BC$ , пересекаются в точке $M$ . По свойству высот, прямая $CM$ будет перпендикулярна основанию $A B$ :

$CM ⊥ A B .$

2. Рассмотрим треугольники $A MC$ и $BMC$ . Оба треугольника являются прямоугольными (так как высота из точки $C$ перпендикулярна основанию). Сторона $CM$ является общей для обоих треугольников. По условию, стороны $A C = BC$ (так как треугольник равнобедренный).

3. В треугольнике $A MC г$ ипотенуза $A C$ , катет $A M$ , другой катет $CM.$

В треугольнике $BMC г$ ипотенуза $BC$ , катет $BM, д$ ругой катет $CM.$

4. Поскольку у нас есть равные катеты (по условию равнобедренного треугольника), и общая сторона (высота), то по теореме о равенстве прямоугольных треугольников (по гипотенузе и катету):

$△ A MC = △ BMC .$

5. Углы при основаниях равны, следовательно:

$A M = BM .$

6. Таким образом, точка $M$ делит отрезок $A B$ пополам:

$A K = K B,$

где точка $K$ — это середина отрезка $A B$ .

7. Следовательно, прямая $MC$ является серединным перпендикуляром к отрезку $A B$ .

Сообщить об ошибке

1...702 703704