Главная/ 7 класс/ Геометрия/ Геометрия 7-9/ 713 стр. 185

ГДЗ по геометрии 7 класс В. Ф. Бутузов, И. И. Юдина, Л. С. Атанасян, С. Б. Кадомцев, Э. Г. Позняк упражнение - 713 стр. 185

1...752753754...782

713 стр. 185

Условие

Прямые AB и АС — касательные к окружности с центром О, В и С — точки касания. Через произвольную точку X, взятую на дуге ВС, проведена касательная к этой окружности, пересекающая отрезки AB и АС в точках М и N. Докажите, что периметр треугольника AMN и величина угла MON не зависят от выбора точки X на дуге ВС.

Решение #1

Давайте докажем, что периметр треугольника $A MN$ и величина угла $MON$ не зависят от выбора точки $X$ на дуге $BC$ .

1. Периметр треугольника $A MN$ равен:

$P_{A MN} = A M + A N + MN .$

2. По свойству касательных к окружности, отрезки, проведенные от одной и той же точки к точкам касания, равны. Таким образом, имеем:

$BM = MX,$

$XN = NC .$

3. Подставим значения в формулу для периметра:

$P_{A MN} = A M + A N + MX + XN .$

Заметим, что $MX = BM$ и $XN = NC$ :

$P_{A MN} = A M + A N + BM + NC .$

Поскольку $A B = A M + MB$ и $A C = A N + NC$ , то можно записать:

$P_{A MN} = A B + A C .$

Таким образом, периметр $P_{A MN}$ не зависит от выбора точки $X$ .

4. Рассмотрим угол MON:

$∠ MON = ∠ MOX + ∠ XON .$

5. В треугольнике $BOM$ и треугольнике $MOX$ : $BM = MX, о$ бщая гипотенуза — это отрезок $OM$ .

Следовательно, по критерию равенства треугольников (по гипотенузе и катету):

$△ BOM = △ MOX .$

Это означает, что углы при соответствующих вершинах равны:

$∠ M A X = ∠ BOM .$

6. Аналогично рассмотрим треугольники $NOX$ и $NOC$ :

$XN = NC, о$ бщая гипотенуза — это отрезок $ON$ .

Следовательно, по критерию равенства треугольников (по гипотенузе и катету):

$△ NOX = △ NOC .$

Это означает, что углы при соответствующих вершинах равны:

$∠ XON = ∠ NOC .$

7. Теперь подставим найденные углы в уравнение для угла $MON$ :

$∠ MON = ∠ M A X + ∠ NOC,$

Таким образом, угол $MON$ не зависит от выбора точки $X$ .

Сообщить об ошибке

1...752753754...782