ГДЗ по геометрии 7 класс В. Ф. Бутузов, И. И. Юдина, Л. С. Атанасян, С. Б. Кадомцев, Э. Г. Позняк упражнение - 715 стр. 186

Давайте докажем, что градусные меры дуг AB и AB1​, меньших полуокружности, равны, при условии, что диаметр AA1​ окружности перпендикулярен к хорде BB1​.

1. Пусть O — центр окружности с радиусом r. Обозначим точки касания: A и A1​ — концы диаметра, а B и B1​ — концы хорды.

2. Поскольку радиусы равны, имеем:

BO=OB1​=r.

Следовательно, треугольник BOB1​ является равнобедренным.

3. Так как диаметр AA1​ перпендикулярен к хорде BB1​, то углы:

∠BDO=90°,

∠ODB1​=90°.

4. Рассмотрим треугольники BDO и ODB1​. Эти треугольники являются прямоугольными. У них есть общий катет DO.

Итак, по критерию равенства треугольников (по гипотенузе и катету):

△BDO=△ODB1​.

5. Из равенства этих треугольников следует, что углы при вершине равны:

∠BOD=∠DOB1​.

6. Угол BOD является центральным углом, опирающимся на дугу AB, а угол DOB1​ — центральным углом, опирающимся на дугу AB1​. Таким образом, имеем:

U AB​=U BOD​

U AB1​​=U DOB1​​.

7. Поскольку мы доказали, что углы равны:

U AB​=U AB1​​,

следовательно, градусные меры дуг AB и AB1​, меньших полуокружности, равны.