ГДЗ по геометрии 7 класс В. Ф. Бутузов, И. И. Юдина, Л. С. Атанасян, С. Б. Кадомцев, Э. Г. Позняк упражнение - 719 стр. 186

1. Пусть O — центр окружности с радиусом r. Рассмотрим точку A, лежащую вне окружности. Проведем две секущие: AC и AE, которые пересекают окружность в точках B и D соответственно.

2. Рассмотрим треугольник ACD:

∠CAD=180°−(∠C+∠D).

Это следует из теоремы о сумме углов в треугольнике.

3. Угол D является смежным с углом CDE:

∠D=180°−∠CDE.

4. Угол CDE является вписанным углом, опирающимся на дугу CE:

∠CDE=1/2 ​U CE​.

Подставим это значение в выражение для угла D:

∠D=180°−1/2 U CE​.

5. Угол C также является вписанным углом, опирающимся на дугу BD:

∠C=1/2 ​U BD​.

6. Теперь подставим значения углов C и D в выражение для угла CAE:

∠CAE=180°−(∠C+180°−1/2​U CE​).

7. Подставив значения, получаем:

=180°−(1/2 U BD​+180°−1/2​U CE​)=180°−180°+1/2​U CE​−1/2U BD​=1/2(U CE​−U BD​).

Таким образом, мы доказали, что угол между двумя секущими, проведенными из точки вне окружности, равен полуразности дуг, заключённых внутри этого угла:

∠CAE=1/2​(U CE​−U BD​),

что и требовалось доказать.