ГДЗ по геометрии 7 класс В. Ф. Бутузов, И. И. Юдина, Л. С. Атанасян, С. Б. Кадомцев, Э. Г. Позняк упражнение - 725 стр. 187

725 стр. 187

Условие

Найдите радиус окружности, вписанной в прямоугольную трапецию с основаниями a и b.

Решение #1

Дана прямоугольная трапеция $A BC D$ , где $BC = a$ и $A D = b$ . Высота трапеции равна $C H$ .

1. Обозначим высоту как $C H$ . Примем, что $C H = 2 r$ , где $r$ — радиус вписанной окружности.

2. Обозначим отрезок $DH$ :

$DH = A D - A H = b - a .$

3. Вписанная окружность касается всех сторон трапеции, следовательно, выполняется равенство:

$C D + A B = BC + A D .$

Подставляя известные значения, получаем:

$C D + a = b + a .$

Отсюда выражаем сторону $C D$ :

$C D = b + a - 2 r .$

4. Рассмотрим треугольник $C HD$ . По теореме Пифагора имеем:

$C D^{2} = C H^{2} + H D^{2} .$

Подставляем известные значения:

$(b + a - 2 r)^{2} = (2 r)^{2} + (b - a)^{2} .$

5. Раскроем левую часть уравнения:

$(b + a - 2 r)^{2} = (b + a)^{2} - 4 r (b + a) + 4 r^{2},$

и правую часть:

$(2 r)^{2} + (b - a)^{2} = 4 r^{2} + (b^{2} - 2 ab + a^{2}) .$

6. Сравниваем обе части уравнения:

$(b + a)^{2} - 4 r (b + a) + 4 r^{2} = 4 r^{2} + b^{2} - 2 ab + a^{2} .$

7. Упрощая, получаем:

$b^{2} + 2 ab + a^{2} - 4 r b - 4 r a = b^{2} - 2 ab + a^{2} .$

8. Убираем одинаковые члены с обеих сторон уравнения:

$4 ab - 4 r a - 4 r b = 0.$

9. Переписываем уравнение для нахождения радиуса $r$ :

$ab = r a + r b,$

откуда

$r (a + b) = ab .$

Таким образом,

$r =(ab .$

Сообщить об ошибке