ГДЗ по геометрии 7 класс В. Ф. Бутузов, И. И. Юдина, Л. С. Атанасян, С. Б. Кадомцев, Э. Г. Позняк упражнение - 727 стр. 187

Рассмотрим равнобедренный треугольник ABC, где AB=AC и основание BC. Обозначим O1​ — центр вписанной окружности, O2​ — центр описанной окружности. Пусть BD — биссектриса угла A, которая также является высотой, проведенной из вершины A на основание BC.

1. Центр вписанной окружности O1​ находится на пересечении биссектрис углов треугольника. В равнобедренном треугольнике биссектриса угла A совпадает с высотой, проведенной из вершины A. Следовательно, точка O1​ принадлежит прямой BD:

O1​∈BD.

2. Центр описанной окружности O2​ является точкой пересечения серединных перпендикуляров к сторонам треугольника. Поскольку в равнобедренном треугольнике высота из вершины A (то есть отрезок AD) перпендикулярна основанию BC, то серединный перпендикуляр к стороне BC также совпадает с прямой BD. Таким образом, точка O2​ также принадлежит прямой BD:

O2​∈BD.

3. Поскольку обе точки, центры вписанной и описанной окружностей (O1​ и O2​), принадлежат одной и той же прямой (BD), мы можем заключить, что

O1​,O2​∈BD,

что и требовалось доказать.