ГДЗ по геометрии 7 класс В. Ф. Бутузов, И. И. Юдина, Л. С. Атанасян, С. Б. Кадомцев, Э. Г. Позняк упражнение - 79 стр. 27

Чтобы доказать, что $BC=2MN$, начнем с обозначения расстояний между точками:

1. Обозначим длину отрезка $AB$ как $a$.

2. Обозначим длину отрезка AC как $b$.

Тогда длина отрезка BC может быть выражена как:

$$BC=AC-AB=b-a.$$

Поскольку точка $M$ является серединой отрезка A$B$, то:

$$AM=\frac{AB}{2}=\frac{a}{2}\mathrm{.}$$

N является серединой отрезка AC, то:

$$AN=\frac{AC}{2}=\frac{b}{2}\mathrm{.}$$

Поскольку точки A, B и C лежат на одной прямой, расстояние между точками M и N можно выразить следующим образом:

$$MN=AN-AM=\frac{b}{2}-\frac{a}{2}=\frac{b-a}{2}\mathrm{.}$$

Теперь подставим это значение в уравнение для длины отрезка BC:

$$BC=b-a\mathrm{.}$$

Умножим обе стороны уравнения для MN на 2:

$$2MN=2\left(\frac{b-a}{2}\right)=b-a\mathrm{.}$$

Таким образом, мы получаем:

BC=2MN.

Это доказывает, что расстояние между точками B и C равно удвоенному расстоянию между серединами отрезков AB и AC.