ГДЗ по геометрии 7 класс В. Ф. Бутузов, И. И. Юдина, Л. С. Атанасян, С. Б. Кадомцев, Э. Г. Позняк упражнение - 84 стр. 27

Пусть дано два вертикальных угла ∠AOB и ∠COD, OL — биссектриса ∠AOB, OK — биссектриса ∠COD.

Требуется доказать, что OL и OK лежат на одной прямой (то есть, L, O и K лежат на одной прямой).

1. Вертикальные углы равны: ∠AOB = ∠COD (по свойству вертикальных углов).

2. Биссектрисы делят углы пополам:

$\angle AOL = \frac{1}{2} * \angle AOB$ (OL — биссектриса ∠AOB)

$\angle COK = \frac{1}{2} * \angle COD$ (OK — биссектриса ∠COD)

3. Следовательно ∠AOL = ∠COK (так как ∠AOB = ∠COD).

4. Угол между сторонами вертикальных углов развернутый: ∠AOC — развернутый угол (180°), так как AOC лежат на одной прямой.

5. Выразим ∠LOK через смежные углы и известные равенства: ∠LOK = ∠LOA + ∠AOC + ∠COK

6. Подставим известные значения: ∠LOK = ∠COK + 180° + ∠COK = 2 * ∠COK + 180°

7. Рассмотрим угол ∠BOC: он смежный с ∠AOB. ∠BOC = 180° — ∠AOB

8. Биссектриса OL делит ∠AOB пополам: $\angle AOL = \angle LOB = \frac{1}{2} * \angle AOB$

9. Рассмотрим угол ∠LOB + ∠BOC + ∠COK: $\angle LOB + \angle BOC + \angle COK = \frac{1}{2} * \angle AOB + 180° — \angle AOB + \frac{1}{2} * \angle COD = 180°$ (так как ∠AOB = ∠COD)

10. ∠LOK — развернутый угол. Поскольку ∠LOK = 180°, точки L, O и K лежат на одной прямой.