ГДЗ по геометрии 7 класс В. Ф. Бутузов, И. И. Юдина, Л. С. Атанасян, С. Б. Кадомцев, Э. Г. Позняк упражнение - 99 стр. 31

1. Рассмотрим треугольники ACE и ADB.

• AC = AD (по условию)
• AE = AB (по условию)
• ∠CAD — общий угол

2. По первому признаку равенства треугольников (две стороны и угол между ними): ΔACE = ΔADB

3. Из равенства треугольников следует равенство соответствующих элементов:

• ∠ACE = ∠ADB
• ∠AEC = ∠ABD
• CE = DB

4. Теперь рассмотрим углы CBD и DEC. Заметим, что:

∠CBD = ∠ABC — ∠ABD

∠DEC = ∠AED — ∠AEC

5. Так как AC = AD, то треугольник ACD — равнобедренный. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны, то есть:

∠ACD = ∠ADC. Поскольку ∠ACE = ∠ADB, то можно записать:

∠ACD — ∠ACE = ∠ADC — ∠ADB, а это значит, что ∠ECD = ∠DBC

6. Рассмотрим треугольники BEC и BCD. В них:

• CE = BD (доказано выше)
• BC = DC (так как AC = AD и AB = AE, то AC — AB = AD — AE, то есть BC = DC)
• ∠ECD = ∠DBC (доказано выше)

Соответственно, по первому признаку равенства треугольников (две стороны и угол между ними) ΔBEC = ΔCDB

7. Из равенства треугольников следует равенство соответствующих элементов:

∠EBC = ∠DCB

∠BCE = ∠CDB

∠BEC = ∠CDB

8. Запишем углы ∠DEC и ∠CBD через известные нам углы:

∠DEC = ∠AEC — ∠AEB. Так как AE = AB, то треугольник ABE — равнобедренный, поэтому ∠ABE = ∠AEB. Откуда ∠AEB = ∠ABD. Получаем ∠DEC = ∠AEC — ∠ABD.

∠CBD = ∠ABC — ∠ABD. Так как ∠AEC = ∠ABD (из равенства ΔACE = ΔADB), то: ∠DEC = ∠ABC — ∠ABD = ∠CBD.

Следовательно, ∠DEC = ∠CBD.

Что и требовалось доказать.